Сначала доказываются теоремы о касательных окружностях:
о трех взаимнокасающихся окружностях, о четырех окружностях, касающихся
друг друга по цепочке, о связи системы касательных окружностей и биссектрисы
между двумя окружностями и о системе касающихся окружностей разных типов.
Затем доказываются теоремы о пересекающихся окружностях. Доказательство теорем
основано на свойствах перестановках четырех или трех точек, при этом предварительное
знание теории групп – не требуется. Далее изучаются свойства четырех
взаимнокасающихся окружностей и четырех взаимнокасающихся сфер. В завершении
доказывается теорема Штайнера с помощью понятия «изоморфизм» и дается определения
«изоморфизма» и изучаются свойства пучка окружностей, не имеющих общих точек
(мнимого пучка).
Статья, особенно ее вторая часть, может быть использована как введение в методы
теории групп.
Разобрав разные виды касающихся окружностей – докажем теорему о них.
Пусть А и В – не имеющие общих точек окружности.