Статья начинается с несколько абстрактных рассуждений, которые помогут нам
изучать композиции симметрий. Затем изучаются композиции симметрий относительно
прямых на плоскости и доказывается, что любая такая композиция есть или поворот
или параллельный перенос или композиция симметрий относительно точки и прямой.
Перед тем, как изучать композицию инверсий относительно окружности определяется
«абстрактная группа движений». Далее изучается, в каких случаях композицию четырех
инверсий можно свести к композиции двух инверсий и доказывается, что композиция
любого числа инверсий сводится к композиции четырех инверсий (действительных или
мнимых).
Затем кратко изучаются некоторые свойства симметрий в евклидовом пространстве.
В конце статьи изучается и определяется симметрия относительно двух ортогональных
окружностей (биплетная симметрия), демонстрируется ее сходство с симметриями в
пространстве и ее связь с гармоническим отношением.
Все перечисленные темы так, чтобы показать единство методов и идей и
применение важных понятий теории групп.