Новое о гармонии сфер
или:
потерянная геометрия окружности и симметрий.
Предисловие.
Ниже я вкратце очерчу содержание статей. Но в начале я объясню,
почему вообще стоит заниматься геометрией окружности. Для меня она интересна и
бесценна сама по себе. Но я думаю, что из нее можно получить и пользу, как и для
других разделов математики, так и методическую, для преподавания. Трудно назвать в
какой-либо другой части геометрии теоремы, которые проще всего доказать используя
методы и идеи теории групп, а геометрия окружности почти начинается с них. Она
объединяет в себе геометрии Евклида, Римана и Лобачевского. Также в нее вплетены
темы анализа и топологии.
Есть много оснований начинать изучение геометрии с геометрии окружностей,
а не прямых. Начать с того, что круговые (или почти круговые) движения
свойственны природе. Окружности, в отличие от прямых, ограниченны.
Наконец, в искусстве и архитектуре связано что-то таинственное с ней.
Религозное искусство, начиная с формы храма - основано на окружности.
Сегодня она на положении пасынка в
математике. Что-то из теорем о прямых или треугольниках помнят почти все:
«пифагоровы штаны на все стороны равны» или «биссектриса это крыса…», но не
только дилетанты порой не знают ни одной теоремы геометрии окружности. Я
восполняю этот пробел. К сожалению очень интересные темы, показывающие связь
геометрии окружности с фракталами и законами эстетики – не уместились в мои
скромные статьи. Но можно посмотреть мои опыты на этом сайте, скачав программу dodeka/
или скачать программу, пройдя по этой ссылке.
Я надеюсь в следующей серией
статей объяснить эти темы.
Три замечательные книги, в которых содержатся подробные доказательства тех
теорем, на которые я ссылаюсь без доказательств, которые полезно
прочитать в связи с излагаемым мною. Коксетер «Геометрия», Гильберт «наглядная
геометрия», Бахман «Построение геометрии на основании понятия симметрии».
Впрочем, я пишу так, что предварительное знакомство с литературой
не требуется.
В 19-ом веке геометрией окружности занимались швед Магнус, немец Мебиус, норвежец
Софус Ли и знаменитый Пуанкаре. В отличие от них (насколько мне известно по
источникам) – я стараюсь рассматривать геометрию окружностей методами ее самой.
Я называю разделы «Статьями» а не «Главами», поскольку я старался сделать их
максимально независимыми друг от друга. Тем не менее, незнакомым с основными
свойствами инверсии – надо прочитать ее определение в ст. 1, иначе все остальное
будет непонятным. Также не обойтись и без ст. 2 – ее идеи витают повсюду в тексте.
Впрочем, сам я прочитал очень мало книг по математики «от корки до корки, страница
за страницей». Я находил в них самое интересное, и когда окончательно переставал
понимать – искал объяснения и определения в начале, в пропущенном. Именно
такого читателя я представляю.